Τετρακτὺς καὶ Πυθαγόρεια Μουσική Κλίμακα
Τετρακτὺς καὶ μουσικοὶ κῶνοι
Ἀπό τὸ βιβλίο…
Ἕως ἐδῶ εἴδαμε τὸ χρυσὸ τρίγωνο νὰ καθορίζει τὸν μουσικὸ κῶνο 1 μὲ μιὰ ἁπλὴ περιστροφὴ του γύρω ἀπὸ τὸν ἄξονα συμμετρίας του ΑΔ. Ποιὸς εἶναι ὅμως ὁ ρόλος τῆς Τετρακτύος στὴν ἐμφάνιση τῶν μουσικῶν κώνων;
Ἀπὸ κατασκευῆς, οἱ δύο ἄνω ἀκτίνες τῆς Τετρακτύος εἶναι παράλληλες μὲ τὶς δύο πλευρὲς τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου ΑΒΓ (Ο,ε1//ΑΓ καὶ Ο,ε2//ΑΒ). Γίνεται λοιπὸν κατανοητὸ πὼς καὶ αὐτὲς μποροῦν νὰ καθορίσουν τὸν μουσικὸ κῶνο 1. Ἡ ἀντίθετη κατεύθυνση τους, ἀρχικὰ προβληματίζει, εἶναι ὅμως μιὰ πρώτη ἔνδειξη ἐμφάνισης καὶ τρόπου ἀνάπτυξης τῆς διπλῆς Τετρακτύος, ὅπως θὰ δοῦμε στὴν συνέχεια.
Οἱ δύο κάτω ἀκτίνες τῆς Τετρακτύος (Ο,ε καὶ Ο, ε΄) ἐμφατικὰ μᾶς καθορίζουν τὸν μουσικὸ κῶνο 2. Ἀπὸ τὴν κορυφὴ Α τῆς Τετρακτύος φέρνουμε εὐθεῖες παράλληλες μὲ τὶς δύο ἀκτίνες (ζ//ε καὶ ζ΄//ε΄). Αὐτὲς τέμνουν τὴν εὐθεία ποὺ ὁρίζεται ἀπὸ τὴν βάση τῆς Τετρακτύος στὰ σημεῖα Β1 καὶ Γ1 ἀντίστοιχα. Ἀπὸ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων ΑΒΔ καὶ Β1ΑΔ( ὀρθογώνια τρίγωνα καὶ ΑΒ ̂Δ=Β1Α ̂Δ=ω ̂ ), καθὼς καὶ ἀπὸ τὸν λόγο ΑΔ/ΔΒ=2/1, ἀποδεικνύεται ὅτι Β1Δ=2ΑΔ. Ἔτσι τὸ τρίγωνο ΑΒ1Γ1 , μὲ ἁπλὴ περιστροφὴ γύρω ἀπὸ τὸν ἄξονα συμμετρίας του ΑΔ, δημιουργεῖ τὸν μουσικὸ κῶνο 2.
Ἡ Τετρακτύς λοιπόν, μὲ πειστικώτατο τρόπο μᾶς ἐπιβεβαίωσε τὴν ὕπαρξη καὶ ἑπομένως τὴν συμβατότητα τῶν δύο μουσικῶν κώνων, μὲ τὸ γενικώτερο σχέδιο ποὺ αὐτὴ ὑποστηρίζει. Κάποια σημαντικὰ στοιχεῖα ἤδη τὰ εἴδαμε. Τὰ σημαντικώτερα ὅμως ἕπονται.
